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Licence Sciences, Technologies, Santé
MENTION MÉCANIQUE

3A104 - Projet

Objectifs de l'Unité d'Enseignement

L’UE se déroule en 2 parties distinctes :

  • Différences finies (CM 8h + TD 8h + TP 14h) :
    • Cours : l’étudiant acquiert les bases des compétences numériques au travers de la méthode des différences finies pour la résolution des équations aux dérivées partielles que l’on rencontre en mécanique. Les notions de maillage décalé et d’ordres spatial et temporel y sont introduites.
    • TD : on s’intéresse à la discrétisation des problèmes de diffusion monodimensionnels stationnaires et instationnaires avec des conditions aux limites de type Dirichlet, Neumann ou mixtes. On traite également la discrétisation de l’équation de diffusion bidimensionnelle stationnaire. L’étudiant prépare les algorithmes de résolution qui seront mis en œuvre au cours des TP.
    • TP : les équations discrétisées en TD et mises sous forme matricielle sont programmées et les résultats comparés à des solutions analytiques ou à des solutions numériques existantes.
  • Projet (30h) : L’objectif est de développer l’autonomie des étudiants dans la compréhension, la modélisation et la mise en œuvre d’une méthode de résolution numérique d’un problème de mécanique. Pour ce faire, les étudiants sont regroupés en binômes et choisissent l’une des cinq thématiques proposées. A titre d'illustrations, ces thématiques peuvent couvrir le traitement du signal, la vibroacoustique, la résolution des grands systèmes linéaires, l'étude dynamique d'un système complexe, l'énergétique, la mécanique des solides, la robotique, ou encore le calcul massif en mécanique des fluides. Pour chaque binôme, la démarche utilisée doit mettre en évidence la séquence de modélisation, méthodologie de simulation, validation et analyse physique des résultats. L'évaluation des projets se fera sur la base d'un rapport écrit et d'une soutenance orale.

Contenu de l’Unité d’Enseignement

Pour ce qui est des différences finies, les aspects suivants sont traités :

  • Dérivation numérique : polynômes de Lagrange, développements limités de Taylor, différences divisées.
  • Discrétisation d’une équation différentielle du second ordre par différences finies sur un maillage normal (classique), puis sur un maillage décalé.
  • Discrétisation des conditions aux limites de Dirichlet, puis de Neumann à l’ordre 1 et 2.
  • Détermination de l’ordre des schémas avec des termes source sous forme de polynômes.
  • Discrétisation temporelle d’un problème de diffusion monodimensionnel instationnaire par des schémas explicites et implicites.
  • Discrétisation spatiale d’un problème de diffusion bidimensionnelle stationnaire.

Pour ce qui est du projet, l’étudiant choisit l'un des sujets proposés par l'équipe pédagogique, sujet qu’il traite en binôme. A titre d'illustrations, ces sujets peuvent traiter des problèmes suivants :

  • Transformée de Fourier et applications à l'ingénierie en mécanique. L'objectif est d'appliquer les principes de l'analyse de Fourier (i) à la résolution d'équations aux dérivées partielles et (ii) au traitement du signal. Les projets s'appuieront sur des problèmes d'ingénierie en mécanique (résolution de l'équation de diffusion, filtrage et compression de base de données expérimentales). La programmation sera faite en MATLAB.
  • Vibroacoustique : un exemple de couplage entre vibrations des structures et ondes sonores. Ce projet a pour but d’étudier le couplage entre les vibrations au sein d’une structure mécanique (par exemple une plaque) et le rayonnement acoustique qu’elles engendrent dans le milieu environnant la structure (par exemple l’air). Pour mener à bien ce projet, il faudra développer deux codes de calcul puis les coupler. Les codes de calculs à développer reposent sur des méthodes différentes : différences finies pour la simulation des vibrations d’une plaque et quadratures numériques pour calculer le rayonnement acoustique.
  • Torsion d’une poutre. On calcule numériquement le module de rigidité à la torsion d’éprouvettes de section droite. On montre comment s’effectue la résolution numérique de l’équation de Poisson en deux dimensions par des méthodes avancées (SOR, SSOR, GC, GCP) et on compare leurs performances. On effectue ensuite une intégration numérique en 2D, puis une dérivation numérique pour calculer le cisaillement maximal en chaque point de la section. On s’attache également à avoir des valeurs convergées en maillage.
  • Etude dynamique du système de transformation de mouvement d'une pompe volumétrique : Choix du moteur électrique - Choix des caractéristiques du ressort qui maintient le contact entre le piston et l'arbre excentrique - Analyse des vibrations - Analyse de la phase de démarrage et de la régularité de mouvement.
  • Energétique: détection des émissions polluantes issues de la combustion. La maîtrise des émissions de particules de suie par les moteurs nécessite la compréhension fine des stratégies de détection. On simule ici par différences finies le chemin parcouru par un faisceau lumineux au travers d'une distribution de particules. On cherche in fine à retrouver la distribution à partir du faisceau détecté produit par la simulation précédente.
  • Calcul parallèle : application à la mécanique des fluides environnementale. Il s'agit de découvrir les deux principes de parallélisation rencontrés couramment en calcul scientifique (à mémoire distribuée ou à mémoire partagée). Ceux-ci seront implémentés autour d'exemples d'écoulements liés à la mécanique des fluides environnementale (micro-climat urbain, pollution, ...);
  • Mécanique des solides : Statique, flambement et vibrations de treillis élastiques. On étudie la statique, les vibrations et les modes de flambement de structures de type treillis. On traitera les méthodes de modélisation et d’assemblage des matrices de masse et de rigidité, la solution de systèmes linéaires et la résolution des problèmes aux valeurs propres.

Pré-requis

Méthodes Numériques pour la Mécanique (S5).

Références bibliographiques

  • Y. Saad, MH Schultz, «GMRES – A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems », SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, vol. 37 (7), pp. 856-869, 1986
  • GH Golub, CF Van Loan, « Matrix Computation”, 3 rd Edition, books.google.com, 1996
  • Y. Saad, “Iterative Methods for Sparce Linear Systems”, 2 nd edition, SIAM , 2003
  • G. Allaire, Analyse numérique et optimisation. Cours de l’Ecole Polytechnique, 2004.

Compétences développées dans l’unité

  • Partie différences finies :
    • savoir discrétiser les équations aux dérivées partielles;
    • obtenir un système matriciel;
    • savoir le résoudre et analyser les résultats.
  • Partie projets :
    • savoir modéliser un problème de mécanique;
    • développer les capacités de l’étudiant à développer et/ou mettre en œuvre des outils numériques adaptés
    • au problème. Ceci peut passer par l’utilisation d’un code industriel, d’un code maison, ou encore d’un code intégralement écrit par l’étudiant;
    • favoriser l’autonomie de l’étudiant.

25/11/15

Traductions :